在數控系統中，插補算法是生成加工軌跡的一個*基本的子程序，在很大程度上決定了數控機床的加工精度和*大進給速度。傳統DDA圓弧插補計算過程簡單，但是用切線逼近圓弧造成誤差。本文提出了一種新的圓弧DDA插補算法，該改進算法使用割線逼近圓弧，可以降低徑向誤差，插補精度較高，誤差分析結果表明DDA圓弧插補改進算法具明顯的優勢，可以有效提高計算精度和計算效率。

 

　　1傳統DDA圓弧插補算法在用戶編制的零件程序中，對于圓弧插補的程序段，提供了圓弧在XZ平面中的起點、終點以及圓心相對于起點的偏移量I 0、K 0值。現以**象限的順圓為例，說明傳統DDA圓弧插補算法的實現。

 

　　在機床XZ坐標系中，設圓弧起點為A，圓心為C，坐標軸原點平移A點后構成IK坐標系。IK坐標系原點A即切割槍位置，隨著切割槍而移動，圓心C相對于原點A的坐標值為（K，I）。第i次迭代之后，切割槍按照插補命令移動到A i點，這時圓心C的坐標為（K i，I i）。在第i＋1次迭代中，切割槍將沿著切線A i C′方向移動，于是將按斜率為－K i／I i的切線進行插補迭代一步，切割槍移動到A i＋1點。此時圓心C相對于A i＋1，的坐標為（I i＋1，K i＋1）。

 

　 式（1）X和Z軸的進給步長可以根據編程速度按斜率為－K i／I i；的直線A i C′計算如下：△X i＋1＝v（3）因此，**象限順圓的傳統DDA圓弧插補迭代公式如下式（4）I i＝I i－1－△X i K i＝K i－1－△Z i）式（5）X i＝X i－1－△X i Z i＝Z i－1－△Z i）式（6）上述公式中**個公式用來計算第I次插補周期中坐標軸的進給步長，第二個公式用來修正圓心相對于切割槍位置的現時坐標，第三個公式用來計算切割槍應該達到的命令位置。圖2中軌跡是根據傳統DDA圓弧插補算法形成的軌跡曲線，包括8個插補點。由切線逼近圓弧的插補算法本身的誤差所引起的徑向誤差較大。

 

　　2DDA圓弧插補改進算法及其實現傳統DDA圓弧插補計算過程簡單，但是用切線逼近圓弧造成誤差。該改進算法使用割線逼近圓弧，可以降低徑向誤差。改進算法的思想如圖3所示，下面以順圓為例說明。

 

　　IK坐標系原點A即切割槍位置，隨著切割槍而移動，圓心C相對于原點A的坐標值為（K，I）。第i次迭代之后，切割槍按照插補命令移動到A i點，這時圓心C的坐標為（K i，I i）。

 

　　在第i＋l次迭代中，切割槍將移動到A i＋1點。A i A i＋1是輔助圓A i DA i＋1的割線和輔助圓EBF的切線，R 1、R 2分別是輔助圓A i DA i＋1和EBF的半徑。

 

　　R是插補圓弧的半徑，因為內外均差割線可以降低徑向誤差，所以由DDA圓弧插補原理可得G點坐標（Z g，X g）Z x＝Z i＋A i G因為G、B、C在一條直線上，C點在ZX坐標系下坐標為（Z c，X c｝，所以B點坐標（Z b，X b）為Z b＝Z c＋Z g式（15）因為B為A i A i＋1的中點，所以A i＋1的坐標（Z i＋1，X i＋1）為Z i＋1＝2Z b－Z i X i＋1＝2b－X i）式（16）如圖4所示在插補的開始和結束位置，根據DDA插補原理，使用插補圓弧的切線連接插補圓弧和逼近圓弧的割線。

 

　　設圓弧插補起點為P o（Z o，X o），終點為P e（Z e，X e），圓心相對于圓弧起點的偏差為K 0和I 0，圓心相對于圓弧終點的偏差為K e和I e，圓弧半徑為R，進給速度為v，插補周期為T，則改進圓弧插補算法為（1）計算輔助圓半徑R 1和R 2 R 1＝R2）計算插補圓弧起點和終點處的切線斜率在起點處：k 0＝－k 0／I 0式（19）在終點處：k e＝－k e／I e式（20）（3）計算插補圓弧起點和終點的切線與外側輔助圓的交點A 1和A n的坐標A 1的坐標：Z 1＝R 1 2－R 2K 0／R＋Z 0 X 1＝－R 1 2－R I 0／R＋X 0

 

　　式（22）（4）計算**步進給量△Z 1＝Z 1－Z 0式（23）△X 1＝X 1－X 0式（24）（5）修正圓心坐標K 1＝K i－1－Z i I 1＝I i－1－X i（式（25）（6）計算算輔助插補步長L＝vTR 1 2R 2式（26）（7）根據式（13－16）計算第i步的命令位置A i（Z i，X i）（8）計算進給量△Z i＝Z i－Z i－1式（27）△X i＝X i－X i－1式（28）（9）判別是否到達終點A n，若是，轉項（10），否則i加1后轉項（5）（10）結束軌跡是改進后的DDA圓弧插補算法形成的軌跡曲線，對比可知改進后的DDA圓弧插補算法的徑向誤差比原算法小。

 

　　3DDA圓弧插補改進算法誤差分析以下的誤差分析主要針對DDA圓弧插補改進算法的徑向誤差與弦線逼近圓弧的弦線誤差進行比較。在相同的步長δ和相同的圓弧半徑R條件下，e r1為弦線逼近圓弧的弦線誤差，e r2為DDA圓弧插補改進算法的徑向誤差。如所示，在弦線逼近圓弧時e r1的計算公式為e r1＝R（1－δ2 4R 2）式（29）如所示，在DDA圓弧插補改進算法中的計算公式為e r2＝Rδ2 8R 2式（30）令△e r＝e r1－e r2 R＝1－1－δ2 4R 2 "－δ2 8R 2式（31）K＝δR式（32）則△e r＝1－1－k 2 4－k 2 8式（33）函數圖像如所示。當0＜k≤2時，△e r＞0，即DDA圓弧插補改進算法的徑向誤差小于弦線逼近圓弧的弦線誤差。而且在k＞1時，即切割小半徑圓弧時前者有明顯的優勢。另外在DDA圓弧插補改進算法中不包含超越函數，可以有效提高計算精度和計算效率。

 

　　4小結本文介紹了數控系統所使用的圓弧插補算法。

 

　　其中提出了一個基于傳統DDA圓弧插補算法的改進算法，并通過比較證明了該算法相對于弦線插補算法的優越性。實踐表明DDA圓弧插補改進算法精簡了計算步驟，提高了計算速度。